La integral como el límite de una suma

Por: Miguel Solís Esquinca

Profesor de tiempo completo

Universidad Autónoma de Chiapas

Una representación geométrica del concepto de integral consiste en el área bajo una curva, entonces el símbolo expresa esa área:

= “área bajo la curva ”

El símbolo de la integral significa la suma, en este caso, de los rectángulos representados por , donde es la altura y la base. Asimismo, a y b son los extremos del intervalo sobre el cual se consideran las bases de los rectángulos. A estos extremos se les conoce como los límites de integración.

Para desarrollar el argumento geométrico se requiere, en primer lugar, concebir una región con área (Figura 3.1) y después establecer un proceso, a través de áreas conocidas, de tal suerte que vayan cubriendo la región.

Debemos considerar una función cuya gráfica es una curva sobre el intervalo [a,b] y que denota una región como en la Figura 3.1.

Figura 3.1

Agustin Cauchy, un matemático francés, desarrolló una base teórica para el Cálculo Integral usando sólo un tipo de funciones llamadas continuas. Escribió, en sus lecciones de Cálculo Integral (Oeuvres Complétes de Cauchy, Serie II, Tomo IV), un proceso, a través de áreas conocidas, que cubriera la región acotada, definiendo a la integral como el límite de la suma,

La estrategia consistió en dividir al intervalo [a, b], el dominio de la función , en n subintervalos de longitudes , , , … , . La longitud de cada subintervalo (base) se multiplica por el valor de la función correspondiente a su primer punto (altura), así se multiplica por , por , por , … , por . Para obtener el valor del área total se suman todas las áreas de los rectángulos, la suma correspondiente se expresa por

S representa, geométricamente, una aproximación al área bajo la curva en el intervalo [a, b] (Figura 3.2).

Figura 3.2

La suma S depende de y de la forma de la partición, es decir, depende del número de subintervalos en los que se ha dividido al intervalo [a, b] y de las longitudes de éstos, ya que pueden tener longitudes iguales o no. De esta manera la suma S cambia cuando el número de divisiones de [a, b] crece considerablemente, toda vez que el tamaño de las divisiones disminuye también considerablemente. Sin embargo Cauchy muestra que el límite de la suma S es independiente de la forma de la división y de la división misma, es decir, cuando el número de divisiones de [a, b] tiende a infinito, el tamaño de todas las divisiones tiende a cero.

En este sentido la notación indica explícitamente que el límite de S depende del intervalo [a, b] y de la función .

Así, el límite de la suma S tiende a ser el área :

“”

Y geométricamente, significa que el límite de S es el área bajo la curva (Figura 3.3).

Figura 3.3

El intervalo [a, b] es el dominio de la función y de la suma S. Los extremos del intervalo a y b son los límites de integración y el límite de la suma S, cuando n tiende a infinito, suele expresarse de la siguiente manera:

, (si , ),

donde

n indica el número de divisiones del intervalo [a, b].

indica la longitud de cualquier subintervalo de [a, b]: , y

indica la suma de los n términos de la forma

Así