Relación entre el cálculo integral y el cálculo diferencial.

Por: Miguel Solís Esquinca

Profesor de tiempo completo

Universidad Autónoma de Chiapas

En esta sección presentamos la relación que guardan la función derivada y la integral, convirtiendo a la integral en la operación inversa de la derivada. Hasta ahora, hemos considerado al área bajo una curva como un significado de la integral, expresado simbólicamente como

= “área bajo la curva desde a hasta b” (Figura 4.1)

Figura 4.1

¿Qué sucede cuando uno de los límites de integración no es una constante sino una variable? Tendríamos que el área en cuestión sería también variable y dependería del valor de este límite variable de integración.

Imaginemos que queremos calcular el área bajo la curva desde 0 hasta x (). El área dependería de los valores que tomara x, esto es, el área sería una función de la variable x y podríamos expresarla como A(x) (Figura 4.2).

A(x)

Figura 4.2

A(x) describe los valores del área bajo la curva f(x) en distintos momentos. Por ejemplo, A(x₁) y A(x₂) se puede considerar que representan dos valores del área en distintos momentos para los cuales A(x₁) sucedió antes que A(x₂) (Figura 4.3).

Figura 4.3

Utilizando esta idea de “área variable”, regresemos a la situación de calcular el área bajo la curva desde a hasta b, esto es:. Pensemos que a y b son dos de estos momentos para los cuales el área toma los valores A(a) y A(b) y donde A(a) sucede antes que A(b), digamos que A(a) representa el valor inicial del área y A(b) el valor final. Para calcular el valor del área bajo la curva desde a hasta b debemos considerar el valor inicial y el valor final del área y efectuar la resta A(b) - A(a) (Figura 4.4).

A(b)

A(a)

A(b) – A(a)

Figura 4.4

La resta A(b) - A(a) expresa el área acumulada entre a y b, en ese sentido la integral debe cumplir con la siguiente relación

Pero, ¿qué relación guardan las funciones A(x) (función área) y f(x)?

A(x), como lo dijimos anteriormente, describe valores del área bajo la curva f(x) en distintos momentos. La variación de estos valores es expresada por la diferencia

A(x+h)-A(x).

Geométricamente, la diferencia de áreas, resulta ser aproximadamente el área de un rectángulo de base h y altura f(x).

En la Figura 4.5 presentamos una secuencia gráfica considerando, primero el momento del área A(x), después el momento del área A(x+h), inmediatamente la resta de ambas áreas y, finalmente, la identificación del rectángulo de base h y altura f(x).

A(x)	A(x+h)
A(x+h) – A(x)	Rectángulo f(x)h

Figura 4.5

El área del rectángulo f(x)h es aproximadamente la variación o incremento del área A(x). Entonces,

donde se lee “es aproximadamente igual a”

La razón de cambio del área se obtiene al dividir la variación entre h

y considerando el límite cuando h tiende a cero ()

El lado izquierdo de la igualdad anterior es el límite de un cociente y no es mas que la definición de la derivada de la función A(x). De acuerdo a la geometría del área bajo la curva, hemos encontrado que la relación entre las funciones A(x) y f(x) es precisamente que f(x) es la derivada de A(x), f(x)=A´(x).

En la relación , si llamamos a , el valor del área queda expresado de la siguiente manera:

para cualquier x en [a, b]

Y, sumándole al valor del área A(a) todos los valores de las áreas f(x)dx desde a hasta b encontramos el valor acumulado del área A(b):

Por otra parte, la resta A(b)-A(a) determina la acumulación de área cuando x está considerada en el intervalo [a, b]:

Así, la igualdad A´(x)=f(x) relaciona la derivada y la integral expresada por

(La expresión “” es sólo una notación de la resta . Así cualquier función G(x) que anteceda a la barra “”, con los valores a y b, indica que hay que evaluar la función G(x), respectivamente, en a y b: G(a) y G(b) y efectuar la resta G(b)-G(a)).

Por la expresión , tiene sentido pensar a la integral como la “operación inversa de la derivada”; ya que al integrar una función dada f(x), se obtiene la función F(x) cuya derivada es la función dada: F´(x)=f(x). La función f(x), en la expresión de la integral, implícitamente es la derivada de otra función F(x). Así, a la función F(x) se le conoce como función primitiva;

Función primitiva = integral de su función derivada.

Una vez establecida la relación entre la derivada y la integral, la integral adquiere un carácter operacional, el cual consiste en hallar funciones primitivas a partir de su función derivada.

Conociendo la función primitiva y su derivada en forma explícita se puede construir una tabla de integración, para determinar algunas fórmulas de integración que facilitan cálculos de integrales. Sin embargo, recordemos que la derivada de una función constante es cero. Así, para funciones que incluyen términos constantes en sus expresiones, por ejemplo , , resulta que la derivada de cada una de estas es la función f(x)=x. Esto quiere decir que la función primitiva de f(x)=x puede ser cualquiera de las tres funciones, de hecho cualquier función , donde c es cualquier constante, es también una función primitiva de f(x)=x. Es preciso, entonces, que al hallar una función primitiva se le añada una constante C.

Observa, además, que la derivada de la primitiva F(x)+c es f(x):

Tabla I

Derivada de F(x)	Función F(x)
	si
	si
1
	si

En la Tabla I se muestran las primitivas de algunas funciones (f(x)), se puede comprobar que al derivar F(x) obtenemos f(x).

Por medio de la Tabla I y la expresión de la integral

se determinan las siguientes fórmulas de integración:

Tabla II: fórmulas de integración

1.

2.

3.

4.

Contamos, hasta ahora, con diferentes expresiones de la integral, donde la característica esencial consiste en los límites de integración;

(sin límites de integración) y

, donde , para (con límites de integración)

Ambas expresiones están relacionadas por la función primitiva F(x) y la función derivada F´(x):

y

sin embargo la primera expresión determina una función, mientras que la segunda determina un número.

Ejemplo 4.1. Aplicar las reglas básicas de integración

Integral dada	Reformular	Integrar	Simplificar

Ejemplo 4.2. Consideremos la función y calculemos las integrales y .

Solución:

De acuerdo a la fórmula de integración

la integral es igual a la función , es decir, (función).

1. Iniciamos con una función f(x)=x.

2. Integramos y resultó la función

3. Observamos que la derivada de F(x) es f(x)=x.

Para calcular la integral necesitamos la función primitiva, que en este caso es y de este modo sólo se requiere calcular la resta ya que la constante se anula, es decir,

;

(número)

Las expresiones simbólicas de la integral

y

, donde , para

relacionan a las funciones primitiva y derivada bajo la siguiente secuencia de funciones (las flechas “®” indican las aplicaciones de dos operaciones: derivada e integración):

función F(x) ® función derivada F´(x) ® función primitiva F(x)+c

La expresión simbólica con límites de integración se conoce como integral definida y la expresión simbólica sin límites de integración se conoce como integral indefinida.

Actividad

1. Calcula las siguientes integrales:

a)	b)	c)
d)	e)	f)
g)	h)	i)

2. Calcula el valor del área limitada por la curva , el eje X y las rectas y .

3. La velocidad, de un automóvil por ejemplo, es la medida de cómo éste cambia su posición con respecto al tiempo, su fórmula se escribe comúnmente , donde es el cambio en la posición (metros, kilómetros, millas, etc.) y es el lapso donde ocurre este cambio (segundos, minutos, horas, días, etc..). Si medimos el cambio en la posición para lapsos muy pequeños, esta medida se aproximará a la velocidad instantánea de nuestro automóvil. La fórmula para la velocidad instantánea es , es decir, la velocidad instantánea es la derivada de la posición respecto del tiempo.

La velocidad instantánea de un automóvil, durante un intervalo de tiempo, está por la función del tiempo: m/s.

a) Encuentra la función posición s(t)

b) Si la posición inicial del automóvil era 0 metros, ¿Cuál es la posición del mismo después de 7 segundos?

c) ¿En cuánto cambió la posición del vehículo durante el intervalo de tiempo que va del segundo 5 al segundo 7?

4. La tasa de crecimiento de una población es la medida del cambio en el número de habitantes en un intervalo de tiempo, la tasa de crecimiento instantánea es la derivada de la población respecto del tiempo.

La tasa de crecimiento instantánea de una población entre los años de 1980 y 1995 está dada por la función habitantes/año, t=0 corresponde al año 1980. Si la población en el año de 1980 era de 4,000 habitantes:

a) Encuentra la función población P(t)

b) ¿Cuál era la población en el año de 1989?

c) ¿Cuánto se incremento la población entre los años de 1985 y 1990?

5.- En economía se manejan los conceptos de Costos (C), Ingresos (I) y Utilidad (U). Una relación fundamental de estos conceptos es la siguiente (las utilidades son la diferencia entre los ingresos y los costos), si los ingresos son mayores a los costos tendremos una utilidad positiva (ganancia), pero si son los costos los mayores tendremos una utilidad negativa (pérdida). Los costos, ingresos y la utilidad son funciones que dependen de la cantidad (x) de artículos producidos y vendidos. Costo marginal, Ingreso marginal y Utilidad marginal son las derivadas del Costo, Ingreso y Utilidad respectivamente. A la función costo la podemos representar por C(x), mientras que a la función costo marginal por , del mismo modo para los otros dos conceptos.

Los Costos marginales de cierta empresa están dados por y los ingresos marginales por

a) Encuentra las expresiones para las funciones Costo, Ingreso y Utilidad.

b) El diagrama de abajo muestra las gráficas del costo marginal y del ingreso marginal.

para obtener la función costo debemos integrar la función costo marginal, geométricamente significa encontrar la función área bajo la curva de costo marginal. Lo mismo es para la función ingreso. Así y (nótese que la función ingreso y la función costo sólo tienen sentido para , lo mismo para las derivadas de las mismas), la función utilidad es ó , geométricamente la función utilidad es el área entre las curvas formadas por las gráficas de costo marginal e ingreso marginal. Apoyándote en la gráfica de arriba, ¿cuál es la utilidad máxima de la empresa?