Geometría Diferencial (Enero - Mayo 2015)

 

Área de Formación: Elección Libre (Optativa)

Materia: Geometría Diferencial

Ubicación: Octavo Semestre

Clave: ______

Horas Teoría: 5

Horas Práctica: 0

Créditos: 10

Profesor: Dr. Hugo Villanueva Méndez

Presentación

La geometría es fundamental en la formación de físicos, matemáticos e ingenieros de diversas ramas técnicas específicas, debido a que en el análisis y resolución de problemas, los aspectos geométricos proveen información cualitativa e intuitiva acerca del mismo. Por ello, este curso muestra en forma integrada la resolución de problemas geométricos a través del cálculo diferencial; en especial este curso tiene aplicaciones a la mecánica, termodinámica y topología diferencial. Para este curso, el alumno debe contar con los fundamentos de la geometría euclidiana desde la perspectiva de la matemática moderna: espacios vectoriales, transformaciones lineales, etc., asimismo conocer el aparato del cálculo diferencial e integral para estar en condiciones de aplicarlo en el análisis de los objetos geométricos y obtener propiedades de estos en dos y tres dimensiones.

Objetivo

Conocer y aplicar el cálculo diferencial en la geometría.

 

 

Temario

Tema 1. Curvas en R^3

 

Objetivo Particular. Al finalizar la unidad, el estudiante deberá comprender los principales conceptos asociados a las curvas en el espacio.

 

 

  • Curvas parametrizadas, diferenciales y regulares.

  • Reparametrizaciones. Longitud de arco.

  • Curvatura. Plano osculador. Torsión.

  • Fórmulas de Frenet.

  • Teorema Fundamental de la Teoría Local de Curvas.

  • Forma Canónica Local.

  • Desigualdad Isoperimétrica.

  • Teorema de los Cuatro Vértices.

 

Tema 2. Teoría local de superficies en R^3

 

Objetivo Particular. Conocer los principales resultados locales de la teoría de superficies.

 

 

  • Superficies regulares.

  • La Primera Forma Fundamental.

  • El mapeo de Gauss.

  • Curvaturas de una superficie: curvatura principal, curvatura media y curvatura de Gauss.

  • La Segunda Forma Fundamental.

  • Ecuaciones de Weingarten.

Tema 3. Geometría intrínseca de superficies

 

Objetivo Particular. Estudiar las propiedades locales de las superficies en términos de la primera forma fundamental.

 

 

  • Isometrías.

  • Teorema Egregio de Gauss.

  • Ecuaciones de Mainardi-Codazzi.

  • Geodésicas.

  • Teorema de Gauss-Bonet.

 

Bibliografía y material de apoyo

Libros

  • Do Carmo, M. (1976) Differential geometry of curves ans surfaces. Prentice-Hall.

  • O'Neill, B. (1977) Elementary differential geometry. Academic Press..

  • Klingenberg, W. (1978) A course in differential geometry. Springer-Verlag.

  • Pogorelov, A. V. (1977) Geometría diferencial. MIR.

  • Sharipov, R. A. (1996) Course of differential geometry. Bashkir State University.

  • Coxeter, H. S. M. (1989) Introduction to geometry. Wiley.

  • Wawrzynczyk, A. (1996) Geometría de curvas y superficies. Anthropos. UAM-I.

    • Software

    • Páginas de internet

  • Para graficar curvas en R^2: http://fooplot.com/

    •  

    Horario

    Grupo

    Lunes

    Martes

    Miércoles

    Jueves

    Viernes

    8º A

    -

    9:00-11:00

    11:00-13:00

    10:00-11:00

    Asesorías: Martes y jueves de 15:30 a 17:30 horas, o en otro horario con previo acuerdo.

     

    Evaluación

    Exámenes. Se aplicará un examen parcial que incluirá el material visto en el tema correspondiente. Serán tres exámenes parciales en total. Al final se podrán reponer a lo más dos exámenes parciales.

    Tareas. Cada viernes se dejará una lista de ejercicios para trabajar toda la semana. Al concluir la semana, se entregará de manera individual el o los ejercicios que se indiquen ese día..

    Examen ordinario. En caso de no tener una calificación final aprobatoria, el alumno podrá presentar un examen ordinario, el cual incluirá todos los temas vistos a lo largo del curso. En este caso, el examen ordinario tendrá un peso de 100% de la calificación final.

    Examen extraordinario. En caso de presentar el examen extraordinario, éste corresponderá al 100% de la calificación final, y será sólo con recibo de pago.

    Fechas de exámenes

    •  

    Tareas

    Tarea 1.

    Tarea 5.

    Tarea 9.

    Tarea 13.

    Tarea 2.

    Tarea 6.

    Tarea 10.

    Tarea 14.

    Tarea 3.

    Tarea 7.

    Tarea 11.

    Tarea 15.

    Tarea 4.

    Tarea 8.

    Tarea 12.

    Tarea 16.